@lastmod[] 26/VIII/2004 @pagename[] Математика @pagenamelong[] Математика @currenticon[] math.gif @backlink[] ../ @content[]

Сальвеблюз

Математика

Арифметика

Сложение и вычитание

Имеют геометрическое (суммарная длина двух отрезков равна длине отрезка, полученного состыковыванием исходных двух) и экономическое определение (сумма чисел имеет столько условных единиц (монет), сколько их содержится во всех слагаемых). Отрицательные числа используются как понятие "взятия в долг".

Известны свойства коммутативности (слагаемые можно менять местами), ассоциативности (операции сложения можно производить в любом порядке), понятие нуля (ничего) и обратного числа (иметь столько же, сколько задолжать, всё равно что ничего не иметь).

Известны числа Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, каждое следующее равно сумме двух предыдущих), используемые в связи с гиматриями.

Известны формулы:

Формулы

При этом ни общая формула, ни числа Бернулли, конечно, неизвестны. Неизвестна и символьная запись чисел (n в приведенных формулах). Одной из известных (нерешенных) задач является попытка найти столь же удобную формулу для факториала. Формулы Стирлинга нет, потому что нет экспонент.

Умножение и деление

Умножение имеет геометрическое (площадь прямоугольника или параллелепипеда) и экономическое (общий капитал, если каждый вносит определенную сумму) определения. Деление - только экономическое (сколько достанется каждому, если такую-то сумму разделить на всех поровну) в связи с трудностью практического построения фигуры заданной площади.

Произведение отрицательных чисел не определено. На практике для вычисления произведений используются таблицы простых случаев (таблица умножения, таблица Пифагора), основные правила при умножении на часто встречающиеся числа (например, основу, считаем, что 10), а также логарифмические таблицы вроде этой:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ...

Тогда, например, при умножении 16 на 32 вместо этого складываются 4 и 5, а потом совершается возврат с 9 в нижнюю строчку. Сведение произвольных чисел к табличным осуществляется, конечно, сложением.

Известны свойства коммутативности (множители можно менять местами), ассоциативности (порядок умножения не оказывает влияние на результат), дистрибутивности (произведение суммы равно сумме произведений) и понятие единицы (обычно путем унификации со считающим, то есть вместо "двое вносят по 50 монет, составляя вместе 100" говорят "я внес 50 монет, и всего получилось 50"). Известны конечные дроби и алгоритм Евклида для целых чисел.

Имеются также зачатки теории вероятностей, произошедшие из попыток решения азартных игр. Классическое определение вероятности как выбор из нескольких равновероятных результатов (бросок кубика, вытаскивание карты), статистическое определение как вывод из множества опытов.

Квадрат и корень

Квадрат определяется как произведение числа на самое себя или как площадь квадрата, корень из двух - как диагональ квадрата, последующие корни следующим простеньким алгоритмом с помощью циркуля и линейки:

Определение корня

Все числа делят на квадратные и упорствующие, для первых значение корня известно, для вторых считается итерационно по формуле: если r - текущее приближение, то следующее приближение равно 1/r+r/2 (фактически, это начало ряда Тейлора для корня из 1+x). Третья степень (куб и не только) известна, её стереометрический смысл - тоже, степени выше могут использоваться в вычислениях, но на практике стараются не вылезать за третью степень.

Геометрия

Формы

Квадрат, прямоугольник, параллелепипед, треугольник, трапеция, шестиугольник, круг. Парабола (считается равной цепной линии), эллипс. Геометрическая единица измерения обычно называется шагом.

Площади

Известны формулы для площадей прямоугольника и параллелепипеда (произведение основания и высоты), круга (произведение квадрата радиуса на число пи), параболы (треть от двойного произведения ширины на высоту), треугольника (половина произведения основания на высоту) и трапеции (половина произведения суммы оснований на высоту). Есть и геометрическое определение вероятности как отношение площадей, известно, что его не всегда можно свести к классической (иррациональную площадь нельзя поделить на участки).

Уравнения

Геометрически находятся положительные корни квадратных уравнений (путём сложения и вычитания площадей, как у Мухаммеда ибн-Муса аль-Хорезми). Интерполяция в зачаточном виде: проведение прямой линии по двум точкам (частный случай формулы Ньютона).

Тригонометрия

Можно рассматривать и как геометрию, и как теорию периодических функций. Положительные углы "отсчитываются вверх", отрицательные, соответственно, "вниз". Существуют пять тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс и хорда Птолемея):

тригонометрия

Известны формулы как тригонометрических функций суммы и разности, так и сумм и разностей тригонометрических функций. Известно также, что при маленьких углах синус почти сходится с хордой, а при углах, близких к развернутому, косинус почти сходится с половиной хорды. Различие между длиной дуги единичной окружности и углом, которое у нас возникло из-за различных систем, не делается. Известны обратные тригонометрические функции, определяющиеся так:

арксинусаркхордаарккосинусарктангенсарккотангенс

Из построения аркхорды непосредственно следует, кстати, метод дихотомии отрезка циркулем и линейкой.

Лучшее приближение для числа пи (отношение длины окружности к её диаметру) таково:

пи